Ejemplos de Funciones en la Vida Real

Ejemplo de desarrollo de la actividad

Vamos a resolver y explicar cada inciso paso a paso.

a) Representar la temperatura en función de la altura

Los datos dados en la tabla indican la relación entre la temperatura y la altura. Podemos notar que a medida que aumenta la altura, la temperatura disminuye de manera uniforme.

Graficando estos puntos en un plano cartesiano con:

Eje X: Altura (m)

Eje Y: Temperatura (°C)

Obtenemos una línea recta, lo que sugiere una relación lineal entre ambas variables.

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b) Obtener la expresión algebraica

Paso 1: Identificar la forma de la ecuación

Sabemos que la ecuación de una recta es de la forma:

𝑦=𝑚𝑥+𝑏

donde:

• $m$ es la pendiente de la recta.
• $b$ es la ordenada al origen, es decir, el valor de $y$ cuando $x = 0$.
  

Paso 2: Determinar la pendiente m

La pendiente se calcula con la fórmula:

$$m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_{\mathrm{1<span\; class="vlist-s"></span>}}}$$

Tomemos dos puntos de la tabla:
$(0,10)$ y$(360,8)$, donde:

• $x_1 = 0$, $y_1 = 10$
• $x_2 = 360$, $y_2 = 8$

​Sustituyéndolos en la fórmula de la pendiente:

$$m = \frac{8 - 10}{360 - 0} = \frac{-2}{360} = -\frac{1}{180}$$

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Paso 3: Encontrar la ordenada al origen 

La ordenada al origen $b$ es el valor de $y$ cuando $x = 0$. Observamos en la tabla que:

$$b = 10$$

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Paso 4: Escribir la ecuación

Ahora que conocemos $m$ y $b$, sustituimos en la ecuación general:

$$y=-\frac{x}{180}+10$$

Esta es la expresión algebraica que representa la temperatura en función de la altura.

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Verificación

Podemos comprobar la ecuación sustituyendo los valores de la tabla:

1. Para $x = 360$
   

$$y = -\frac{360}{180} + 10 = -2 + 10 = 8$$

✔ Coincide con la tabla.

2. Para $x = 720$
   

$$y=-\frac{720}{180}+10=-4+10=6$$

✔ Coincide con la tabla.

3. Para $x = 990$
   

$$y=-\frac{990}{180}+10=-5.5+10=4.5$$

✔ Coincide con la tabla.

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c) Altura a la que la temperatura será menor que 0°C

Paso 1: Usar la ecuación de la temperatura

Sabemos que la temperatura en función de la altura está dada por la ecuación obtenida en la parte b):

$$y = -\frac{x}{180} + 10$$

Para encontrar la altura a la que la temperatura es menor que 0°C, primero igualamos la ecuación a 0.

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Paso 2: Igualar a 0 y despejar $x$

$$0 = -\frac{x}{180} + 10$$

Ahora despejamos $x$:

1. Restamos 10 en ambos lados:

   $$-10 = -\frac{x}{180}$$

2. Multiplicamos por -1 para eliminar el signo negativo:

   $$10 = \frac{x}{180}$$

3. Multiplicamos ambos lados por 180 para despejar $x$:

   $$x = 10 \times 180$$ $$x = 1800$$

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Paso 3: Interpretar el resultado

Hemos encontrado que a una altura de 1800 metros la temperatura es exactamente 0°C.

Como la pregunta pide la altura a partir de la cual la temperatura será menor que 0°C, esto ocurre para cualquier altura mayor a 1800 metros.

$$x > 1800 \quad \Rightarrow \quad y < 0$$

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Conclusión

La temperatura será menor que 0°C para alturas mayores a 1800 metros.